Vibrationsegenskaper

För många produkter utgör tyst och vibrationsfri gång viktiga kundkrav och kvalitetsmått. Buller uppstår ofta indirekt som en följd av vibrerande paneler eller andra större ytor i en produkt och begränsning av vibrationer utgör därför ett primärt önskemål. Vibrationsfenomen är till sin natur ofta komplexa och det finns definitivt inga generella tumregler som kan tillämpas för att åstadkomma vibrationsfria produkter. Givetvis har excitationens styrka en avgörande betydelse liksom den geometriska utformningen och placeringar av infästningar, förstyvningar osv. Även materialegenskaperna har emellertid en fundamental påverkan på produktens dynamiska beteende.

Denna bild illustrerar hur en vibrerande konstruktion kan betraktas som ett input/output system. Excitation i form av pulserande kraft eller oscillerande upplag utgör systemets input, medan respons i form av rörelser mätt som förskjutning, hastighet eller acceleration utgör output. Relationen mellan input och output utgör systemets överföringsfunktion och benämns ofta "mobilitet" med dimensionen vibrationshastighet per enhetskraft. Vid resonanser uppstår toppar i mobilitetsfunktionen. Strävan vid konstruktion av lågvibrerande produkter bör vara att undvika resonanstoppar inom driftsområdet samt att överhuvudtaget hålla mobilitetsnivåerna så låga som möjligt, dvs åstadkomma en produkt som är svår att sätta i svängning.

De dynamiska egenskaperna styrs i första hand av elasticitet och densitet, som är materialegenskaper, vilka knappast påverkas av olika tillverkningsmetoder. Hårdhet, restspänningar, ytfinhet osv är exempel på typiskt tillverkningsberoende parametrar, som inte heller påverkar vibrationsegenskaperna. De principiella skillnaderna vad gäller vibrationsegenskaper till följd av olika tillverkningsmetoder är därför normalt försumbara. Ett undantag utgör möjligen påverkan på materialdämpningen. Denna anses t ex öka vid höga restspänningar efter värmebehandling, gjutning eller svetsning. Alla dämpfenomen är dock notoriskt besvärliga att hantera korrekt på ett kvantitativt sätt. Kunskaperna om fenomenen är idag alltför bristfällig för att man skall kunna dra några praktiska slutsatser vad gäller val av tillverkningsmetoder för att skapa hög materialdämpning.

 

Som framgår av denna bild bestämmer faktorerna geometri, styvhet, massa och dämpning mobiliteten och man inser att materialvalet får en direkt påverkan på vibrationsegenskaperna. I den mån geometrin påverkas av vald tillverkningsmetod har givetvis även detta betydelse, men härom kan inga generella slutsatser dras.

Ett vibrerande system kan ses som en svart låda med en överföringsfunktion, mobilitet, som relaterar input och output (överst). Diagram som visar mobilitet (kvot mellan amplituderna för vibrationshastighet och exciterande kraft) som funktion av frekvens, med omväxlande resonanstoppar och dalar för antiresonanser (underst). Vid höga frekvenser och höga dämpningar går näraliggande toppar ofta i varandra och mobilitetsfunktionen blir jämnare och närmar sig asymptotiskt en kontinuerlig, monoton funktion.

Nedan diskuteras bästa materialval beroende på vilken dynamisk egenskap som man eftersträvar.

Hög grundfrekvens

I första hand strävar man efter att hålla aktuellt frekvensområde fritt från resonanser. Enklast åstadkoms detta om den första resonansfrekvensen ligger väl över de högsta förekommande excitationsfrekvenserna. Hur påverkas då resonansfrekvensens läge av aktuella materialdata om den geometriska utformningen förutsättes bibehållen?

Enklast kan sambanden härledas med hjälp av den s k Rayleigh-kvoten, som direkt ur egenvärdesproblemet för ett diskret system ger uttrycket,

där är grundfrekvensen, är motsvarande svängningsform, [k] är styvhetsmatrisen och [m] är massmatrisen.

Eftersom svängingsformerna endast beror av geometri och randvillkor och eftersom styvhets- och massmatriserna för likformiga geometrier blir direkt proportionella mot elasticitetsmodul respektive densitet gäller

Materialets merittal då hög grundfrekvens eftersträvas ges av

Uttrycket påminner alltså om det mer allmänna merittalet för lätta, styva konstruktioner som illustreras i denna bild av linjen

Samma urvalskriterium gäller alltså, men den direkta effekten försvagas genom rottecknet.

Glesa resonanser

I många fall är det omöjligt att skapa en konstruktion som är tillräckligt lätt och styv för att placera grundfrekvensen ovanför driftområdet. Man strävar då istället efter att placera in aktuella driftsfrekvenser mellan uppträdande resonanser. Detta underlättas givetvis om resonansfrekvenserna är glest utplacerade. Merittal för att åstadkomma glest placerade resonansfrekvenser diskuteras nedan

Den praktiska användningen av Rayleigh-kvoten är vanligtvis att approximativt beräkna grundfrekvensen från en gissad svängningsform, men uttrycket är lika korrekt för samtliga resonanser,

där subskript r betecknar mod eller resonans nummer r.

I analogi med tidigare resonemang blir slutsatsen att även för de fall då man eftersträvar glest placerade resonanser bör man välja material med en hög kvot

mellan elasticitetsmodul och densitet i enlighet med diagrammet i denna bild.

Resonanspåverkade konstruktioner

Avsnitten ovan behandlade konstruktioner avsedda att helt undvika resonanspåverkan. Denna situation kan oftast uppnås för maskiner som går med konstant varvtal eller inom ett snävt driftområde, men förutsätter att man har tillgång till och behärskar tillförlitliga beräkningsmetoder. I många situationer, t ex för maskiner som opererar över ett stort varvtalsområde eller konstruktioner utsatta för mer oregelbunden (stokastisk) excitation eller excitation genom stötar, måste man emellertid i allmänhet acceptera att resonanser exciteras. Karossen till en personbil utgör ett sådant exempel. Detsamma gäller ibland också för stora och veka stålkonstruktioner, t ex fartygsskrov (betänk att ett fartygsskrov på torra land kan brytas sönder under sin egen vikt) och liknande strukturer, där resonanserna ligger så tätt att de delvis överlappar varandra.

Denna situation illustreras av den högra delen i mobilitetsdiagrammet i denna bild. Med den begränsade precision som dagens beräkningsmetoder erbjuder kan man då knappast garantera resonansfrihet, utan man får snarare eftersträva en genomsnittligt låg mobilitet och dämpade resonanser, vilket resulterar i en konstruktion som är allmänt robust ur vibrationssynpunkt.

Begreppet "medelmobilitet" kan illustreras enligt följande. Betrakta exemplet med en konsolbalk, exciterad med en sinuskraft i den fria änden enligt denna bild.

Konsolbalk exciterad med sinusformad kraft (överst) och mobilitetsfunktion med medelmobilitet (underst).

Allteftersom frekvensen ökas genomlöps ett antal resonanser och antiresonanser. Medelmobiliteten definieras nu som en kurva (streckad linje), som dras mitt emellan toppar och dalar i ett mobilitetsdiagram ritat med logaritmisk skala. Låg medelmobilitet är alltså en eftersträvansvärd egenskap för att uppnå låga vibrationsnivåer i vibrerande system med många resonanser.

Ett intressant faktum är att man kan visa att samma kurva resulterar om man successivt ökar systemets inre dämpning, alternativt låter balkens längd gå mot oändligheten. Det senare fallet kan ses som ett slags dämpning, där svängningsenergin propagerar bort längs balken. Man kan teoretiskt visa att alla passiva, svängande system asymptotiskt närmar sig medelmobiliteten när dämpningen ökar eller avstånden mellan egenfrekvenserna minskar så att resonanstopparna överlappar varandra. Enligt [Skudrzyk ,68] kan medelmobiliteten för de flesta mekaniska system beräknas ur

där står för "modal massa",

och r anger hur tätt resonanstopparna ligger. Mätetalet för detta kallas modaltäthet, och definieras som skillnaden i vinkelfrekvens mellan näraliggande egenfrekvenser. Om vi liksom tidigare jämför identiska geometrier realiserade i olika material kan vi konstatera att svängningsformerna förblir identiska, dvs modala massan är direkt proportionell mot materialets densitet. I föregående avsnitt konstaterades att merittalet för att åstadkomma stort avstånd mellan resonanstoppar var kvoten mellan elasticitetsmodul och densitet. Modaltätheten innebär således inversen av detta. Således fås

Merittalet för låg medelmobilitet blir alltså

Konsekvensen är alltså att styva och tunga konstruktioner har låg känslighet för vibrationer, vilket knappast är någon överraskande slutsats.

Låg medelmobilitet är alltid en fördel, men vibrationsnivåerna kan ändå bli besvärande om distinkta resonanstoppar ligger inom driftområdet. Om dessa inte kan flyttas ur excitationsområdet återstår endast dämpning som medel att begränsa vibrationsnivåerna.

Dissipativ dämpning som fenomen är ytterst komplext och teoretiskt svårbehandlat. Alla former av dämpning innebär emellertid att svängningsenergi omvandlas till värme vid svängningsrörelser i material, förband, yttre dämpare eller genom strålningsdämpning. Dessa mekanismer beskrivs genom olika matematiska modeller och är ibland olinjära. För vårt syfte räcker det emellertid att konstatera, att oavsett dämpmekanism kan effekten beskrivas genom sin förmåga att omvandla svängningsenergi till värmeenergi. Om hela denna omvandling sker under en svängningscykel sägs systemet vara kritiskt dämpat. Den aktuella dämpfaktorn, , anges vanligen som en procentsats av kritisk dämpning.

I denna bild definieras faktorn b, som anger hur mycket resonanstoppar respektive antiresonansdalar avviker från medelmobiliteten. Den resonansamplitud vi önskar begränsa genom dämpning är alltså

Man strävar alltså efter att välja material som ger lågt värde för b.
För tätt liggande resonanser kan b enligt [Skudrzyk, 68] beräknas ur

och merittalet för dämpning av resonanstoppar blir helt enkelt lika med dämpfaktorn

För att beräkna totala höjden på befintliga resonanstoppar kombinera ovanstående ekvationer, vilket ger

Merittalet för låga amplituder i resonanspåverkade konstruktioner blir då

Dämpfaktorn beror bl a på material, förbandstyper, randvillkor, geometri, belastningstillstånd osv. För många material ökar dämpningen kraftigt med belastningen och varierar dessutom med temperaturen. Ofta utgör den rena materialdämpningen en mindre del av den totala dämpningen, exempelvis tillför ofta friktion i ingående förband eller viskös dämpning i lager betydande dämptillskott. Med dessa reservationer i minnet kan man ändå finna typiska skillnader för dämpegenskaperna i olika material, vilka illustreras i denna bild. Dämpvärden under 0,1 % har utelämnats eftersom man då kan utgå från att andra dämpmekanismer i konstruktionen överskuggar materialdämpningen. Observera att spridningen i dämpvärdena är mycket stor för många material, t ex stål och magnesium, och att man inte utan vidare kan utgå från att det material man väljer har hög relativ dämpning inom sin materialklass.


Magnesium Bly Gjutjärn Trä Glas Aluminium Stål
Materialvalsdiagram för resonanspåverkade konstruktioner. Jämförelsen avser minimering av vibrationsnivåer för konstruktioner med samma geometri. Materialdata från referenserna [Cremer, 73 och Ashby, 89].

© Copyright © 2002 IVF Industriforskning och utveckling AB